Следующая тема: САД, Описательная статистика
Вернуться в раздел: Статистический анализ данных
Вернуться в оглавление: Я.Практикум
В теме:
Эксперимент, исходы, вероятностное пространство и события
Вероятность: классическое и геометрическое определения
Пересекающиеся и взаимоисключающие события. Диаграмма Эйлера-Венна
Проверочные задания. Теория вероятностей
Введение
Кратко:
- Теория вероятностей - раздел математики, изучающий случайные события и величины.
- Для решения задач достаточно базовых понятий теории вероятностей.
- Научитесь представлять исходы в виде диаграмм и находить вероятности.
- Разделите понятия "эксперимент", "событие", "исход".
- Научитесь подсчитывать вероятности различных событий.
- Поймете закон больших чисел и увидите его в задачах
Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает случайные события и величины, их свойства и операции над ними. Теорию вероятностей можно изучать годами, но это не значит, что вы сможете решать задачи только тогда, когда досконально разберётесь в ней. Для некоторых задач достаточно нескольких базовых понятий, с которыми, помимо прочего, вы познакомитесь в этой теме.
Вы научитесь
- представлять исходы в виде диаграмм и с их помощью находить вероятности;
- разделять понятия «эксперимент», «событие», «исход»;
- подсчитывать вероятности различных событий;
- понимать закон больших чисел и видеть его в задачах.
Эксперимент, исходы, вероятностное пространство и события
Кратко:
- Эксперимент - повторяемый опыт с элементарными исходами.
- Пример эксперимента с элементарными исходами: подбрасывание монетки.
- Пример эксперимента с элементарными исходами: подкидывание кубика-кости.
- Пример эксперимента: кондитерская "Сладкий месяц" делает конфеты с игрушками.
- Множества и подмножества: дни недели, рабочие дни, время дня, рабочие часы.
- Вероятностное пространство - множество элементарных исходов эксперимента.
- События - подмножества вероятностного пространства.
- Достоверные и невозможные события - особые группы событий.
Эксперименты и исходы
Первое, с чем нужно познакомиться в теории вероятности, — это эксперимент и экспериментальный исход.
Эксперимент — это повторяемый опыт, который может окончиться элементарными исходами (результатами). «Повторяемый» в этом определении обозначает опыт, который возможно повторить некоторое количество раз при таких же условиях. Название элементарных исходов отражает их суть: исход либо случился, либо нет. «Элементарно, Ватсон».
Пример эксперимента с элементарными исходами — подбрасывание монетки. Выпадет либо орёл, либо решка — вероятность каждого из двух исходов одинакова. При этом не всегда у эксперимента только два исхода. Например, у эксперимента, в котором вы подкидываете кубик-кости (дайс), будет шесть исходов, так как кубик может выпасть только одной из шести граней, на каждой из которых соответствующее количество точек. Это также эксперимент с элементарными исходами.
Другой пример: кондитерская «Сладкий месяц» делает конфеты, внутри которых находятся разные игрушки. В конфете можно найти фигурки:
- дракона,
- принцессы,
- рыцаря.
В каждой конфете есть только одна игрушка, а количество драконов, принцесс и рыцарей, которые положат в конфеты, одинаково. О том, какая игрушка находится внутри, неизвестно до момента, пока конфету не откроют. В этом случае эксперимент — это открытие игрушки, а его элементарные исходы:
- попался дракон,
- попалась принцесса,
- попался рыцарь.
Из-за того, что количество игрушек в каждой конфете одинаково, одинакова и вероятность каждого исхода. Допустим, кондитерская создала конфет, тогда среди них есть 3 конфеты с драконом, 3 конфеты с принцессой и 3 конфеты с рыцарем. Если выбрать случайную конфету, вероятность того, что внутри окажется либо дракон, либо принцесса, либо рыцарь, будет одинакова.
Эксперимент, у которого вероятность каждого исхода одинакова, называется честным. Но элементарными называются не только те исходы, чья вероятность одинакова.
Чтобы разобраться с этим, рассмотрим ещё один пример. Допустим, однажды вышла бракованная серия фигурок с принцессами, и её сняли с производства. Позже брак исправили, но получилось, что принцессы стали попадаться в конфетах реже остальных игрушек, так как сладости с драконами и рыцарями продолжали выпускать, пока принцессы были в доработке. Когда конфет с принцессами стало меньше, чем конфет с другими фигурками, исходы остались элементарными, но эксперимент перестал быть честным, поскольку вероятность, с которой попадётся принцесса, стала меньше.
Эксперимент честный, так как вероятность каждого исхода одинакова.
Эксперимент перестанет быть честным, если вероятность каждого исхода будет неодинаковой.
Правильный ответ
Повторение этого эксперимента заключается в том, что один и тот же кубик подбрасывают заново.
Повторение этого эксперимента заключается в повторном подбросе того же кубика.
Множества и подмножества
В примерах выше речь идёт о наборе элементарных исходов, где все элементы уникальные, а не повторяющиеся. Чтобы обозначать такие наборы, используется термин «множество».
Множеством называется некоторый набор неповторяющихся элементов.
Например, дни недели — это множество, поскольку каждый элемент из набора не повторяется. Время дня (11:59, 21:40 и так далее) — это тоже множество, так как эти элементы не повторяются. Но если заменить 24-часовой формат на 12-часовой, то время дня перестанет быть множеством, так как элементы начнут повторяться: может быть как 10:59 утра, так и 10:59 вечера.
Рассмотрим ещё один пример. Из дней недели можно выделить будни (пн, вт, ср, чт, пт). Рабочие дни — это тоже множество, потому что элементы этого ряда не повторяются. Но кроме этого, любой рабочий день — это также день недели, поэтому будни будут подмножеством дней недели.
Множество называется подмножеством множества B, если любой элемент из является элементом множества .
Аналогично со временем: рабочие часы — это подмножество множества часов, содержащихся в дне, так как любые рабочие часы (9, 10, …17) — также часы дня.
Теперь о приятном: представьте, что у вас отпуск и сейчас у вас нет рабочих дней. Значит ли это, что множества ваших рабочих дней не существует в этот момент? Нет, оно есть, просто это множество пустое.
Пустым называется множество, в котором нет элементов.
Вероятностное пространство и события
Элементарные исходы не существуют каждый по отдельности, вместе они создают вероятностное пространство, которое является множеством.
Множество всех элементарных исходов эксперимента называется вероятностным пространством.
Вернёмся к примеру про конфеты и игрушки. Получается, что вероятностным пространством для этого эксперимента является множество, в котором находятся три элемента: выпал дракон, выпала принцесса или выпал рыцарь. Если бы мы хотели выделить из этого множества подмножество условий, которые должны соблюдаться, чтобы возникла игровая битва, получилось бы множество, в котором было бы только два элемента — выпал дракон и выпал рыцарь. Тогда такой набор назывался бы событием.
Подмножества вероятностного пространства с некоторым количеством элементарных исходов эксперимента называются событиями.
Среди событий выделяют две особые группы: достоверные и невозможные события.
Достоверным называют событие, которые точно произойдёт. Такое событие полностью совпадает с вероятностным пространством. Например, событие «в игрушке попалась принцесса, или рыцарь, или дракон» — достоверное, потому что оно полностью совпадает с вероятностным пространством исходного эксперимента.
Невозможным называется событие, которое никогда не произойдёт. То есть исходы невозможного события не входят в вероятностное пространство эксперимента, а значит, множество такого события пустое. Например, события «в конфете не было игрушки» и «в конфете попался и рыцарь, и дракон» невозможны, так как в каждой конфете должна быть игрушка и только одна.
Уложить в голове, как соотносятся друг с другом все понятия из этого урока, поможет картинка, где в прямоугольники заключены множества:
На этой картинке прямоугольники представляют собой множества, а разбивать на события можно как угодно, на иллюстрации — лишь один из вариантов. В другом случае, например, к «Событию 1» относились бы «Исход 1» и «Исход 2», а «Исход 3» и «Исход 4» относились бы к «Событию 2».
Вероятность: классическое и геометрическое определения
Кратко:
- Вероятность события в эксперименте - число от 0 до 1, показывающее долю исходов события от всего вероятностного пространства эксперимента.
- Классическое определение вероятности: разделить количество исходов события на общее число возможных исходов.
- Геометрическое определение вероятности: событие - часть длины, площади или объема вероятностного пространства, которую оно занимает.
- Вероятность события вычисляется путем деления площади, длины или объема события на общую площадь, длину или объем вероятностного пространства.
- Пример: эксперимент с включением песни из плейлиста: вероятность события "включилась песня группы Queen The Show Must Go On" равна 1/10.
- Пример: геометрическое представление вероятностного пространства: прямоугольник со сторонами 1 см и 10 см, вероятность события "включится группа Scorpions" равна 0.3
Классическое определение вероятности
В прошлом уроке вам часто встречалось слово «вероятность», но мы так и не дали ему строгого определения. Самое время это исправить!
Вероятность события A в эксперименте B — это число от 0 до 1, которое показывает, какую долю исходов событие A составляет от всего вероятностного пространства эксперимента B.
Иначе говоря, чтобы найти вероятность события A нужно разделить количество исходов в этом событии на общее число возможных исходов в эксперименте. Вероятность может обозначаться как числом, например, или 0.3, так и процентами, например, 30 %.
Разберём на примере. Допустим, вы встретили на улице случайного кота и решили провести эксперимент. Конечно, все так делают, когда встречают котов. Вы предлагаете коту выбрать один из двух кормов: со вкусом тунца и со вкусом лосося.
Вероятностное пространство этого эксперимента — два исхода: «выбрал корм с тунцом» и «выбрал корм с лососем». Предположим, что оба корма одинаково вкусные, а кот всегда случайный (то есть каждый раз новый) и никогда не отказывается от корма и всегда что-то выбирает. Представим все возможные события этого эксперимента и вычислим вероятность каждого из них.
- Событие: «выбрал корм с тунцом». Его вероятность будет равна 12, или 50 %, так как «выбрал корм с тунцом» — это один исход, всего в текущем эксперименте их два.
- Событие: «выбрал корм с лососем». По аналогии с предыдущим событием вероятность этого будет равна 1/2, или 50 %, так как «выбрал корм с лососем» — это один исход, всего в текущем эксперименте их два.
- Ещё возможно событие: «выбрал корм с лососем или с тунцом». Его вероятность будет равна 2/2=1, так как это событие состоит из двух исходов, а в нашем эксперименте два исхода.
- И ещё одно событие: «кот отказался есть корм». Его вероятность будет равна 0/2=0, так как этого исхода нет в текущем вероятностном пространстве.
Пример выше показывает, что вероятность высчитывают не для исходов, а для событий, даже если событие состоит всего из одного исхода.
Рассмотрим более сложный пример. Представьте, что вы проводите эксперимент, в котором случайно включаете песню из вашего (классного!) плейлиста. Пусть плейлист выглядит так:
В этом случае у эксперимента есть 10 элементарных исходов, так как включиться может любая песня из списка выше. Предположим, что вы хотите найти вероятность события «включилась песня группы Queen The Show Must Go On». Тогда, согласно определению, вероятность этого события будет равна 1/10, так как событию удовлетворяет только 1 исход, а всего их 10, то есть событие содержит 1 исход из 10 возможных.
Другой пример: вы хотите найти вероятность события «включится песня группы AC/DC». Из-за того, что это событие состоит из двух возможных исходов (в плейлисте ведь всего две песни группы AC/DC — Back in Black и Highway To Hell), его вероятность будет равна 2/10.
На основе примера выше найдите вероятность события «название песни начинается с буквы W». Ответ укажите десятичной дробью, а не процентами, например, 0.64. Записывайте дробное значение через точку.
Так как событие состоит из трёх элементарных исходов (в плейлисте всего три песни, начинающиеся с W: We Will Rock You, Wish You Were Here, Wind Of Change), его вероятность будет равна 3/10 или 0.3.
Какова вероятность того, что в результате эксперимента включится хоть какая-то песня из 10 композиций плейлиста? Эта вероятность равна единице: 1/10+1/10+...+1/10=1. Это логично, потому что «включилась какая-то из 10 песен плейлиста» — это достоверное событие, которое включает все возможные исходы. Значит, найти вероятность события «включится песня группы AC/DC» можно ещё и так: 1−8/10=10/10−8/10=2/10. То есть нужно вычесть из единицы вероятность того, что включится песня не группы AC/DC (8/10).
Геометрическое определение вероятности
Есть и другой подход к вычислению вероятности — геометрический. Этот подход подразумевает, что вероятностное пространство можно представить в виде некоторой геометрической фигуры (чаще всего прямоугольника). С учётом этого можно записать ещё одно определение вероятности.
Вероятность события A в эксперименте — это число от 0 до которое показывает, какую часть длины, площади или объёма событие составляет от всей длины, площади или объёма вероятностного пространства эксперимента .
Чтобы найти вероятность события с помощью геометрического подхода, нужно длину, площадь или объём, которые занимает событие, разделить на общую длину, площадь или объём вероятностного пространства.
Чтобы понять, как работает этот подход, вернёмся к примеру с плейлистом. В этом случае ограничимся лишь названиями групп. Представим вероятностное пространство в виде прямоугольника со сторонами 1 см в ширину и 10 см в длину. Выберем для каждой группы свой цвет и перекрасим части прямоугольника в цвета групп:
Тогда вероятность, например, события «включится группа Scorpions» равна отношению площади, которую занимает это событие, к общей площади вероятностного пространства. Площадь этого события равна 1⋅1=1, так как это квадрат, стороны которого равны 1 см, значит площадь всего события равна 1⋅3=3. Площадь всего вероятностного пространства равна 10 а значит, вероятность того, что включится группа Scorpions, равна 3/10=0.3
Представьте, что вы стреляете из лука по необычной квадратной мишени:
Вычислите вероятность того, что вы попадёте в красную область мишени. Ответ укажите в виде числа, например 0.64. Записывайте дробное значение через точку.
Посчитаем площадь, которую занимает событие «Попасть в красную зону»: 2⋅2=4. Теперь посчитаем площадь, которую занимает всё вероятностное пространство: 10⋅10=100. Тогда вероятность попасть в красную зону будет равна 4/100=0.04.
Может показаться, что второе определение вероятности (геометрический подход) работает только для площади. На самом деле это не так. Для каждой задачи необходимо индивидуально подбирать фигуру, в виде которой было бы удобно представить вероятностное пространство.
Пересекающиеся и взаимоисключающие события. Диаграмма Эйлера-Венна
Кратко:
- События могут взаимодействовать друг с другом по-разному.
- Пересекающиеся события имеют хотя бы один общий исход.
- Диаграмма Эйлера-Венна помогает наглядно изобразить события и вероятностное пространство.
- Взаимоисключающие события не имеют общих исходов.
- Взаимоисключающие события также можно изобразить с помощью диаграммы Эйлера-Венна.
Пересекающиеся события
В предыдущих уроках вы анализировали вероятность одного события в разных экспериментах. Но в реальности на основе некоторого эксперимента часто рассматривают не одно, а несколько событий. Эти события могут взаимодействовать друг с другом совершенно по-разному, как именно — вы узнаете в этом уроке.
Представьте, что вы проводите эксперимент «выберем случайное число в диапазоне от 1 до 10». Вероятностное пространство этого эксперимента — все целые числа от 1 до 10. Допустим, нужно проанализировать взаимодействие двух событий: «выпадет чётное число» и «выпадет число больше 6 ». Тогда исходами первого события будут значения 2, 4, 6, 8, 10 а исходами второго события — значения 7, 8, 9, 10. Поскольку исходы обоих событий содержат значения 8, 10, такие события пересекаются.
Два события называются пересекающимися, если есть хотя бы один исход, который входит в оба события.
Пересекающиеся события можно придумать практически для всех возможных экспериментов. Помните эксперимент с котиком, которому вы предложили выбрать корм? Для этого эксперимента пересекающиеся события — «выбрал корм с тунцом» и «выбрал один из двух кормов», так как оба события имеют общий элемент — «выбрал корм с тунцом».
Представьте, что вы преподаёте и проводите эксперимент «Cтудент получает оценку за контрольную работу по пятибалльной шкале». Из предложенных вариантов ответа выберите тот, в котором есть пересекающиеся события.
Событие «студент получил чётную оценку» и событие «студент получил оценку выше трёх баллов».
Диаграмма Эйлера-Венна
Чем сложнее эксперименты, тем труднее хранить в голове исходы различных событий. Чтобы решить эту проблему, был придуман изящный способ изображения событий и вероятностного пространства — диаграмма Эйлера-Венна.
На диаграмме всё вероятностное пространство изображается как прямоугольник. Внутри него есть события — они изображены кругами. Если события пересекаются, то и круги пересекаются. Таким образом, если исходов много, удобнее отобразить их на диаграмме, которая наглядно покажет в том числе, пересекаются ли события (есть ли у них общие исходы) или нет.
Рассмотрим диаграмму Эйлера-Венна на примере со случайным числом от 1 до 10. Проанализируем те же события: «выпало чётное число» и «выпало число больше 6». Элементарные исходы и пересекающиеся события этого эксперимента можно изобразить так:
Для сложных экспериментов такая диаграмма поможет не запутаться во всех элементарных исходах.
Кофейня «Снова кофе» работает с 9 до 17 В любой час из этого промежутка покупатель может заказать напиток. Поэтому вероятностное пространство эксперимента «час, в который бариста будет готовить кофе» состоит из всех целых чисел от 9 до 17 (они обозначают часы). У кофейни два постоянных покупателя — это математики, которые приходят в кофейню каждый день. У покупателей-математиков есть особенности: первый любит приходить только в нечётные часы работы кафе, а второй — в часы работы, которые делятся на 3 без остатка.
Выберите диаграмму, которая правильно изображает взаимодействие событий «час, в который бариста будет готовить кофе первому математику» и «час, в который бариста будет готовить кофе второму математику».
Исходы первого события — 9, 11, 13, 15. Исходы второго события — 9, 12, 15. Общие элементы этих множеств — 9, 15 это пересекающиеся события, поэтому на диаграмме они изображены как пересечение двух кругов, которыми обозначаются события.
Взаимоисключающие события
Пересечение — не единственный способ взаимодействия событий. В примере с котом события «выбрал корм с тунцом» и «выбрал корм с лососем» не пересекаются, поскольку произойти может либо одно событие, либо другое. И тогда речь идёт о взаимоисключающих событиях.
События называются взаимоисключающими, если множества их исходов не имеют общих элементов.
Если вернуться к примеру про выбор случайного числа от 1 до 10, то события «выпало чётное число» и «выпало нечётное число» будут взаимоисключающими. Исходы первого события — 1, 3, 5, 7, 9, исходы второго — 2, 4, 6, 8, 10, и общих элементов у этих множеств нет.
Событие «студент получил ниже четырёх баллов» и событие «студент получил 5».
Это взаимоисключающие события. Исходы первого события — 1, 2, 3, исход второго — 5, и среди них нет общих элементов.
Событие «студент получил нечётную оценку» и событие «студент получил чётную оценку».
Это взаимоисключающие события, так как исходы первого события — 1, 3, 5, а исходы второго — 2, 4 и среди них нет общих элементов.
Взаимоисключающие события тоже можно представить с помощью диаграммы Эйлера-Венна. Если в случае с пересекающимися событиями круги, которые обозначают события,
пересекаются, то при изображении взаимоисключающих событий круги пересекаться не будут:
При этом речь не идёт о ситуациях, где одно событие — подмножество другого. Такие случаи редки, поэтому мы их не разбираем. Важно то, что их также можно изобразить с помощью диаграммы Эйлера-Венна. Выглядеть они будут как вложенные друг в друга круги, например так:
Закон больших чисел
Кратко:
- Закон больших чисел гласит: чем больше число повторений эксперимента, тем ближе относительная частота события к его теоретической вероятности.
- Чтобы вычислить относительную частоту события, нужно разделить частоту, с которой оно происходит, на общее количество сделанных повторений эксперимента.
- Закон больших чисел является фундаментальным законом, заставляющим работать всю теорию вероятностей.
- Без этого закона теория вероятностей не была бы так сильна, а без неё и не было бы статистики
Вы уже многое знаете о вероятности, исходах и событиях. И, возможно, пока вы проходите этот курс, вам не дает покоя вопрос: «Зачем вообще нужна теория вероятности, если события (даже с высокой вероятностью) могут не произойти?» Так действительно может случиться, но на ваш вопрос математикам есть что ответить. «Вы просто недостаточное количество раз повторяли эксперимент, вот и беситесь», — скажут они. И будут отчасти правы, ведь повторяемость эксперимента — самое важное условие во всей теории вероятности, и это подтверждает закон больших чисел.
Закон больших чисел гласит: чем больше число повторений эксперимента, тем ближе относительная частота события к его теоретической вероятности. Чтобы вычислить относительную частоту события, нужно разделить частоту, с которой оно происходит, на общее количество сделанных повторений эксперимента.
Разберём закон на примере. Вернёмся к котику, которому вы предложили корм. Так как кот в этом эксперименте случайный, то повторения заключаются в том, что вы берёте нового кота и предлагаете ему один из двух кормов: с тунцом или лососем. Если предположить, что оба корма одинаково вкусные, то вероятность каждого события равна 1/2 или 0.5. Так мы высчитаем вероятность этого события теоретически, или найдём его теоретическую вероятность.
Но предположим, вы решили проверить, насколько верно вычислена теоретическая вероятность, и несколько раз повторили эксперимент.
- Проведём эксперимент впервые, пусть в нём кот выбрал лосося. Тогда относительная частота события «выбрал корм с лососем» равна 1, так как это событие случилось один раз, а всего была одна итерация (эксперимент ведь проводился впервые). Относительная частота события «выбрал корм с тунцом» в этом случае будет равняться 0, так как это событие не произошло ни разу.
- Проведём эксперимент повторно. И пусть в нём кот снова выбрал корм с лососем. Тогда относительная частота события «выбрал корм с лососем» всё ещё будет равняться 1, так как это событие произошло в обоих случаях из двух повторений: 2/2= 1. Относительная частота события «выбрал корм с тунцом» всё ещё будет равняться .
- Проведём третье повторение. И пусть в нём кот выбрал корм с тунцом. Тогда относительная частота события «выбрал корм с лососем» будет равняться 2/3, так как это событие произошло в двух случаях из трёх повторений, а относительная частота события «выбрал корм с тунцом» будет равняться 1/3, так как это событие произошло в одном случае из трёх повторений.
Применив закон больших чисел к этому примеру, вы можете быть уверены: чем больше повторений, тем ближе значение относительной частоты обоих событий к значению вероятности, которую вы высчитали теоретически. Сколько повторений нужно совершить, чтобы относительная вероятность приблизилась к теоретической вероятности, зависит от эксперимента, который вы проводите. Закон больших чисел при этом не говорит, что относительная частота события будет когда-либо равна теоретической вероятности. Он говорит только о том, что относительная частота будет приближаться к теоретической вероятности, а станут ли они равны и сколько нужно совершить повторений, неизвестно.
Но проводить тысячи повторений неинтересно (лень), поэтому, чтобы проверить, выполняется ли этот закон, можно воспользоваться Python. Смоделируем с помощью него процесс выбора корма и посмотрим, как будет изменяться относительная частота события «выбрал корм с лососем»:
import matplotlib.pyplot as plt
from random import randint
# задаём параметры размера графика
f = plt.figure()
f.set_figwidth(17)
# задаём линию идеальной вероятности
x_points = [1, 151]
y_points = [0.5, 0.5]
plt.plot(x_points, y_points, linestyle='dashed', label="Теоретическая вероятность")
plt.ylim([0, 1.2])Как можно заметить, относительная частота действительно стремится приблизиться к его теоретической вероятности, а значит, закон больших чисел работает!
Закон больших чисел гарантированно работает при очень большом числе повторений. При этом необходимое число повторений для гарантированной работы закона является своим для каждого эксперимента.
Закон больших чисел говорит, что если повторений будет очень много и их количество будет дальше увеличиваться, относительная частота события гарантированно станет ближе к значению вероятности этого события, которое вы высчитали теоретически. Число повторений, при котором они станут близки, для каждого эксперимента своё.
Закон больших чисел является фундаментальным законом, заставляющим работать всю теорию вероятностей. Без этого закона теория вероятностей не была бы так сильна, а без неё и не было бы статистики.
Заключение
Кратко:
- Основы теории вероятности изучены: события и вероятностное пространство.
- Диаграмма для разных видов событий использована.
- Закон больших чисел и его работа объяснены.
- Шпаргалка темы предоставлена для сохранения знаний.
- Знания из этой темы будут требоваться в дальнейшем.
- Освежить основные понятия теории вероятностей рекомендуется
В этой теме вы познакомились с основами теории вероятности. Теперь вы знаете:
- что такое события и вероятностное пространство;
- какой диаграммой пользоваться для разных видов событий;
- как работает закон больших чисел и почему он вовсе не про масштаб самих чисел.
Заберите с собой
Чтобы ничего не забыть, скачайте шпаргалку темы.
Что можно изучить дополнительно
Знания из этой темы будут часто требоваться вам в дальнейшем, поэтому освежите основные понятия теории вероятностей.
Задание 1 из 8
Пусть проводится эксперимент с подбрасыванием десятигранного кубика (игральной кости). Выберите утверждения, которые верно характеризуют этот эксперимент.
Эксперимент честный, так как вероятность каждого исхода одинакова.
Правильный ответ
Повторение этого эксперимента заключается в том, что один и тот же кубик подбрасывают заново.
У этого эксперимента десять исходов, поскольку кубик может выпасть гранью со значением от 1 до 10. Этот эксперимент является честным, так как вероятность выпадения каждой грани одинаковая, а повторение этого эксперимента заключается в повторном подбросе того же кубика.
Задание 2 из 8
Пусть вы в технической библиотеке, где хранятся книги по математике и физике. Вы наугад берёте книгу с полки. Выберите утверждения, в которых верно определены достоверное и невозможного событие в рамках этого эксперимента.
Событие «вытащена книга по математике или по физике» — достоверное.
Правильный ответ
Событие «вытащена книга по приготовлению кофе» — невозможное.
Так как в библиотеке хранятся книги по математике и физике, вы точно вытащите книгу по математике или физике, поэтому это достоверное событие. Кроме книг по математике, в библиотеке хранятся также книги по физике, поэтому вы не можете быть уверены, что точно вытащите книгу по математике. Вы точно знаете, что в этой библиотеке есть книги по физике, а значит, вы точно можете вытащить книгу по физике. Но так как все книги по математике или физике, вы точно не можете вытащить книгу о кофе.
Задание 3 из 8
Мы узнали, что в библиотеке сейчас лежит 100 книг, из которых 40 по физике и 60 по математике. Выберите вероятность того, что случайно вытащенная книга будет по физике.
0.4 или 4/10
Для того чтобы вычислить вероятность, нужно разделить число подходящих исходов (40 книг по физике) на общее количество исходов эксперимента (всего 100 книг). Тогда вероятность того, что случайно вытащенная книга будет по физике, равна: 40100=0.4.
Задание 4 из 8
Пусть вы перешли в другую секцию библиотеки, где хранятся книги по физике и статистике. Все книги лежат в одном шкафу. Если изобразить его с помощью рисунка, то получится примерно так:
Найдите вероятность того, что из этого шкафа вы наугад вытащите книгу по статистике.
0.75 или 3/4
Для того чтобы вычислить вероятность, нужно разделить площадь подходящей области (9 секций с книгами по статистике) на общую площадь (всего 12 секций с книгами), получим: 912=0.75.
Задание 5 из 8
На полке есть книги с мягкими и твёрдыми обложками. Вероятность вытащить книгу с мягкой обложкой равна 0.6. Определите, чему равна вероятность достать книгу с твёрдой обложкой.
0.4
Так как сумма вероятностей всех исходов равна 1, вероятность того, что вы вытащите книгу с твёрдой обложкой, равна 1−0.6=0.4.
Задание 6 из 8
Теперь вы перешли в другой зал и перед вами опять шкаф с книгами по математике и физике. Вы вытаскиваете случайную книгу и по отметкам внутри книги смотрите, сколько у неё было владельцев. Выберите утверждения, в которых описаны пересекающиеся события.
Событие «у книги было больше двух владельцев» и событие «у книги было четыре владельца»
Правильный ответ
Событие «у книги было меньше пяти владельцев» и событие «у книги было больше трёх владельцев»
В первом и последнем примере пересечениями событий является исход «у книги было четыре владельца», а во втором и в третьем примере у событий нет общих исходов.
Задание 7 из 8
Оказалось, что в библиотеке есть секция, где, кроме книг по математике и физике, есть книги по использованию математики в физике. Вы узнали, что книг только по математике в секции 15, книг только по физике — 20, а книг по использовании математики в физике — 5. Выберите диаграмму Эйлера-Венна, которая верно описывает исходы эксперимента «Случайная вытащенная книга в секции».
Правильная диаграмма изображена на первом рисунке, так как книг только по математике — 15, книг только по физике — 20, а книг по использованию математики в физике (в пересечении двух множеств) — 5.
Задание 8 из 8
Вы узнали, что во всей библиотеке 1000 книг, из которых: 150 по математике, 550 по статистике, 5 по применению математики в физике и 295 книг по физике. О чём в этом случае будет говорить закон больших чисел для эксперимента «Наугад выбранная из всей библиотеки книга»?
Правильный ответ
Что с увеличением числа повторений эксперимента, доля полученных исходов, в которых вы вытащили книгу по математике, будет приближаться к 0.15
Правильный ответ
Что с увеличением числа повторений эксперимента, доля полученных исходов, в которых вы вытащили книгу по статистике, будет приближаться к 0.55
Закон больших чисел говорит о том, что при увеличении повторений эксперимента, доля полученных исходов каждого события будет приближаться к теоретической вероятности этого события. А значит, доля полученных исходов, в которых вы вытащили книгу по математике, будет приближаться к 0.15, доля полученных исходов, в которых вы вытащили книгу по статистике, будет приближаться к 0.55, доля полученных исходов, в которых вы вытащили книгу по физике, будет приближаться 0.295, а доля полученных исходов, в которых вы вытащили книгу по математике в физике, будет приближаться к 0.05.
Следующая тема: САД, Описательная статистика
Вернуться в раздел: Статистический анализ данных
Вернуться в оглавление: Я.Практикум