Data Science

САД. Случайные величины

Следующая тема:  САД. Распределения

Вернуться в раздел: Статистический анализ данных

Вернуться в оглавление: Я.Практикум

 

В теме:

1. Введение

2. Случайные величины. Распределение вероятностей для дискретной случайной величины

3. Вероятность попасть в промежуток для дискретной случайной величины

4. Кумулятивная функция для дискретной случайной величины

5. Математическое ожидание дискретной случайной величины

6. Дисперсия дискретной случайной величины

7. Заключение

8. Проверочные задания . Случайные величины

Введение

Кратко:

  • Тема посвящена изучению случайных величин и их вычислению.
  • Необходимо задавать случайные величины и вычислять их вероятности.
  • Требуется вычислять математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
  • Знание теории вероятностей будет полезно для изучения данной темы
В этой теме вы познакомитесь с понятием случайной величины.

Вы научитесь

  • задавать случайные величины и вычислять для них вероятности,
  • считать математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
В этой теме вам пригодится знание теории вероятностей. Если что-то забыли, обращайтесь к прошлым темам.
 

Случайные величины. Распределение вероятностей для дискретной случайной величины

Кратко:

  • Случайная величина - переменная, хранящая исход случайного эксперимента в виде числа.
  • Исходы экспериментов могут быть описаны словами, а не только числами.
  • Для таких случаев исходы кодируются значениями, например, "Кот выбрал корм с лососем" = 1.
  • Случайная величина может быть дискретной или непрерывной.
  • Таблица распределения случайной дискретной величины хранит значения и вероятности, с которыми они принимаются.
  • Таблицы распределения часто используются для описания дискретных случайных величин.
В одной из прошлых тем вы познакомились с экспериментами, исходами и вероятностью. Эта терминология подходит для простых ситуаций, но бывает, что количество исходов бесконечно. Также исходы в экспериментах необязательно представлены числами — это могут быть слова, например: «Кот выбрал корм с лососем».
 
Если исходов много и их нельзя описать математически, пользоваться предыдущей теорией с экспериментами и исходами сложно. Чтобы описывать и анализировать такие ситуации, вам предстоит познакомиться с новой терминологией. Её придумали математики, и главное понятие в ней — случайная величина.
 
💡 Случайная величина — переменная, которая хранит исход некоторого случайного эксперимента в виде числа. В результате эксперимента случайная величина может принимать только одно значение.
 
Исходя из определения, случайная величина может принимать только числовые значения. Что делать, если исходы всё-таки описаны словами?
 
Решим эту проблему так. В примере с котом два исхода: «Кот выбрал корм с лососем» и «Кот выбрал корм с тунцом». Они не выражены числом, поэтому мы самостоятельно определим значение для каждого исхода:
  • Исход «Кот выбрал корм с лососем» кодируем значением 1. Это значит, что кот выбрал первый корм — с лососем.
  • Исход «Кот выбрал корм с тунцом» кодируем значением 2. Это значит, что кот выбрал второй корм — с тунцом.
В случайной величине исход обязательно представлен числом. Поэтому случайную величину проще анализировать математикам.
 
Вспомните определение случайной величины. Выберите такие величины, которые ему соответствуют.
 
Число машин на парковке за день
Среднее время парковки машин

Таблица распределения случайной дискретной величины

Случайная величина может быть как дискретной, так и непрерывной. С дискретными переменными проще работать, поэтому начнём с них.
 
Возьмём случайную величину, у которой есть более двух возможных значений. Например, проводится лотерея, в которой разыгрывают какие-нибудь ценные подарки. Каждый участник сидит за столом — всего столов пять, и у каждого есть номер. Номер стола описывает посетителя, который за этим столом сидит.
 
В результате получится такой набор чисел: {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5}. Расшифруем: за первым столом сидят два человека, за вторым — четыре, за третьим и пятым — по одному, за четвёртым — два. Организаторы выбирают случайного человека из полученного набора и дарят подарки всем, кто сидит за столом вместе с выбранным участником. В этом случае мы имеем дело со случайной величиной «Номер стола с участниками, которые выиграли подарки». Обратите внимание: случайная величина принимает только числовые значения — это условие не нарушено.
 
Обозначим случайную величину за То, что случайная величина приняла значение a, можно записать так: X=a. Теперь запишем вероятность того, что случайная величина приняла значение a: P(X=a). Буква обозначает вероятность события, которое описали в скобках.
 
Посчитаем вероятность выигрыша подарка каждым столом. То есть вычислим вероятность того, что случайная величина принимает конкретное значение из набора. Запишем вероятность того, что подарки выиграют участники за столом под номером 5: P(X=5).
 
Чтобы вычислить эту вероятность, воспользуемся формулой вероятности для события A: P(A)=k/n, где — это число благоприятных исходов, а — это общее число исходов. В наборе всего одно число , то есть у нас только один благоприятный исход из десяти возможных (10 — столько чисел в наборе). Найдём вероятность того, что случайная величина примет значение 5: P(X=5)=1/10.
 
Проделаем эту операцию для каждого числа из набора, и в результате получится таблица:
 
             
Значение случайной величины (это число, которое случайным образом получили из набора чисел) 1 2 3 4 5
Вероятность того, что случайная величина равна этому значению 0.2 0.4 0.1 0.2 0.1
 
Видно, что сумма вероятностей всех событий равна 1. Если бы мы получили другой результат, это бы значило, что мы упустили возможные значения случайной величины или учли возможные события несколько раз.
 
В таблице хранится полная информация о распределении случайной величины: какие значения и с какой вероятностью она может принимать. Поэтому такую таблицу называют таблицей распределения случайной дискретной величины.
 
💡 Таблица распределения случайной дискретной величины — это таблица, которая хранит все значения, которые может принимать случайная величина, и вероятности, с которыми она эти значения принимает.
 
Таблицами распределения часто пользуются для описания дискретных случайных величин: они дают полную информацию о распределении в сжатой форме.
 
Среди разных таблиц найдите такие, которые можно назвать таблицами распределения случайной величины.
 
       
Значение случайной величины (число посетителей кофейни) 15 21 25
Вероятность этого значения 0.3 0.6 0.1
       
Значение случайной величины (сумма, которую потратил посетитель кофейни) 250 300 500
Вероятность этого значения 0.3 0.6 0.1
Всё верно: случайная величина описывается числом и сумма всех вероятностей равна 1.
 

Вероятность попасть в промежуток для дискретной случайной величины

Кратко:

  • Вероятность попадания в промежуток для дискретной случайной величины.
  • Интервалы, отрезки и полуинтервалы - виды промежутков.
  • Знание разных видов промежутков помогает правильно определять диапазоны значений.
  • Пример использования правила вычисления вероятности для промежутка.
  • Сумма всех значений вероятностей в таблице распределения равна 1
В прошлом уроке вы узнали, как вычислить вероятность того, что случайная величина равна некоторому значению. Однако часто хотят получить вероятность того, что величина не равна конкретному значению, а лежит в некотором наборе значений.
 
Например, мы хотим проанализировать случайную величину «Число новых посетителей кафе». Найдём вероятность того, что наше кафе будет успешным в следующем месяце. Допустим, что число новых посетителей должно быть больше 100. В таком случае нам не нужно искать вероятность того, что случайная величина равна определённому значению. Мы будем искать вероятность того, что случайная величина больше этого значения. О таких ситуациях и пойдёт речь в этом уроке.

Какие бывают промежутки

 Когда говорят о наборах числовых значений в диапазоне, часто используют термин промежуток.

Бывает три вида промежутков:
  • Интервалы. Интервал от до обозначается (a,b). В него входят все числа от a до , не включая самих и . То есть интервал (3,10) включает все числа от до 10, не включая 3 и 10.
  • Отрезки. Отрезок от до обозначается [a,b]. Он содержит все числа от до , включая и . То есть отрезок [2,5] включает все числа от до , включая и .
  • Полуинтервалы. Полуинтервал от до может обозначаться по-разному. Полуинтервал [a,b) содержит все числа от a до , включая , но не включая . А полуинтервал (a,b] включает все числа от до b, включая b, но не включая .
Термин «промежуток» может обозначать любой интервал, отрезок и полуинтервал.
 
💡 Важное замечание: часто промежуток от до считается непрерывным, то есть таким, который включает все возможные числа на числовой оси. В этой теме мы рассматриваем дискретные величины, поэтому промежутки будут включать только целые числа от до .
 
Знание разных видов промежутков поможет вам правильно определять диапазоны значений, когда вы будете решать задачи на вероятность.
 
Закрепим теорию. Выберите варианты, в которых всё правильно.
 
Интервал (11,14) включает в себя числа 12,13.
Отрезок [11,14] включает в себя числа 11,12,13,14.

И снова таблицы

Вернёмся к таблице распределения случайной величины, с которой вы познакомились в прошлом уроке. Возьмём новую таблицу для случайной величины X: «Час, когда посетитель пришёл в кафе». Значениями этой случайной величины будут только часы. Так, если посетитель пришёл в 11:45, то значение случайной величины будет равно 11.
 
                   
Значение случайной величины 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Вероятность того, что случайная величина равна этому значению 0.3 0.2 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0.05 0.1
 
Можно заметить, что кафе пользуется особой популярностью по утрам. Ещё одна деталь: в кафе есть утренняя и дневная смены сотрудников, и дневная смена начинает работу в 13:00. Работники утренней смены (те, что работают с 9 до 13 ) недовольны: они обслуживают больше клиентов, чем их коллеги. Они попросили проверить, равны ли вероятности того, что:
  • посетитель придёт до 13 часов,
  • посетитель придёт после 13 часов (включительно).
Сначала вычислим вероятность того, что посетитель придёт с 9 до 13 часов. Для этого нужно сложить все вероятности значений, которые может принимать случайная величина, — те, что лежат в диапазоне с 9 до 13 часов. Рассчитаем вероятность:
 
P(9⩽X⩽12)=P(X=9)+P(X=10)+P(X=11)+P(X=12)=0.3+0.2+0.1+0.1=0.7
 
Теперь посчитаем вероятность того, что посетитель придёт с 13 до 17 часов:
 
P(13⩽X⩽17)=P(X=13)+P(X=14)+P(X=15)+P(X=16)+P(X=17)=0.05+0.05+0.05+0.05+0.1=0.3
 
Понятно недовольство сотрудников, работающих по утрам: вероятность того, что посетитель придёт в их смену, выше, чем у коллег. Может, дневной смене стоит приходить пораньше?
 
На основе этого примера сформулируем правило — как искать вероятность того, что дискретная величина примет значение из некоторого диапазона:
 
💡 Чтобы вычислить вероятность того, что случайная величина примет значения из промежутка [a, b], необходимо сложить все вероятности величин, которые может принимать случайная величина и которые лежат в промежутке [a, b]
 
В кафе завтраки готовят с 9:00 до 11:00. Какова вероятность, что посетитель попадёт на завтрак?
 
Напомним: значения этой случайной величины — целые часы. Если посетитель пришёл в 10:37, то значение случайной величины будет равно 10
 
Введите ответ без пробелов, целую и дробную части разделите точкой.
 
Ваш ответ правильный
0.5
Из правила следует, что сумма всех значений вероятностей в таблице распределения должна быть равна 1. Ведь вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из набора, должна быть равной 1, так как это является достоверным событием — таким, которое обязательно произойдёт.
 
Джонни — самый грозный игрок в боулинг на Диком Западе! Однако даже Джонни играет далеко не идеально. Мы нашли таблицу, которая описывает дискретную случайную величину «Количество сбитых Джонни кеглей». Правда, в ней пропущено одно значение (таблицу можно прокрутить вправо):
 
                     
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.05 0.1 0.05 0.07 0.03 0.1 0.06 0.04 0.1 0.1 ?
 
Какова вероятность того, что Джонни выбьет страйк, то есть собьёт все десять кеглей?
 
0.3
Теперь вы знаете, как вычислить вероятность того, что случайная величина принимает значение из некоторого диапазона. Это умение пригодится вам в следующем уроке!
 

Кумулятивная функция для дискретной случайной величины

Кратко:

  • Кумулятивная функция вероятности - функция F(x), которая показывает вероятность того, что случайная величина принимает значение меньше x.
  • Вероятность того, что случайная величина принимает значение меньше 14 часов, можно вычислить как сумму вероятностей того, что она примет значение в каждом из этих часов.
  • Кумулятивная функция не убывает и может либо не изменяться, либо возрастать, так как вероятность не может быть отрицательной.
  • Кумулятивная функция начинается из 0 и заканчивается на 1, так как вероятность попадания левее минимального и максимального значений случайной величины равна 0 и 1 соответственно.
  • Кумулятивная функция часто используется в статистике и анализе данных для решения задач, например, определения вероятности заработка компании меньше необходимой суммы или попадания нового пользователя приложения в определенную возрастную группу.
Вы уже умеете находить вероятность того, что случайная величина принимает значение из диапазона. Теперь расскажем, как посчитать вероятность того, что она принимает значение меньше некоторого x.
 
Вернёмся к примеру с кафе. Возьмём таблицу вероятностей из прошлого урока:
 
                   
Значение случайной величины 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Вероятность того, что случайная величина равна этому значению 0.3 0.2 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0.05 0.1
 
Допустим, мы хотим вычислить вероятность того, что посетитель пришёл раньше 14 часов. Сначала запишем эту вероятность математически: P(X⩽13). Кафе открывается в 9, поэтому вероятность прийти раньше 9 утра равна . Распишем интересующую нас вероятность как сумму вероятностей того, что посетитель придёт в каждый час с 9 до 14:
 
P(X⩽13)=P(X=9)+P(X=10)+P(X=11)+P(X=12)+P(X=13)=0.75
 
В меню кафе есть позиция «Кофе дня» — его готовят в любое время до 13. Какова вероятность, что посетитель попадёт на кофе дня? Введите ответ без пробелов, целую и дробную части разделите точкой.
 
Ваш ответ правильный
0.7
Необязательно каждый раз пересчитывать такую вероятность. Существует функция, которая нам поможет:
 
💡 Кумулятивной функцией вероятности называется функция F(x), которая в каждой точке показывает вероятность того, что P(X⩽x).
 
Перед тем как построить график этой функции, найдём её значения в каждой точке.
Посетители не могут прийти раньше 9 часов, поэтому:
 
P(X⩽8)=0
 
Чтобы вычислить вероятность того, что посетители придут до 10, сложим вероятность прийти до 9 и вероятность прийти с 9 до 10:
 
P(X⩽9)=P(X⩽8)+P(X=9)=0+0.3=0.3
 
Аналогично поступим с вероятностью того, что посетители придут до 11:
 
P(X⩽10)=P(X⩽9)+P(X=10)=0.3+0.2=0.5
 
Похожим образом вычислим остальные значения:
P(X⩽11)=P(X⩽10)+P(X=11)=0.5+0.1=0.6;
P(X⩽12)=P(X⩽11)+P(X=12)=0.6+0.1=0.7;
P(X⩽13)=P(X⩽12)+P(X=13)=0.7+0.05=0.75;
P(X⩽14)=P(X⩽13)+P(X=14)=0.75+0.05=0.8;
P(X⩽15)=P(X⩽14)+P(X=15)=0.8+0.05=0.85;
P(X⩽16)=P(X⩽15)+P(X=16)=0.85+0.05=0.9;
P(X⩽17)=P(X⩽16)+P(X=17)=0.9+0.1=1
Теперь мы знаем значения кумулятивной функции вероятности в каждой точке, а значит, можем построить её график:
 
График кумулятивной функции с осью X «Время» и осью Y «Вероятность». Линиями отмечены значения: значения от 0 до 9 принимаются с вероятностью 0. От 9 до 10 — с вероятностью 0.3. От 10 до 11 с вероятностью 0.5 и так далее.
По определению, кумулятивная функция в точке показывает вероятность того, что случайная величина приняла значение левее этой точки. С этим связано несколько свойств функции, которые обязательно должны выполняться:
  • Кумулятивная функция не убывает. Она может либо не изменяться, либо возрастать. Это происходит потому, что вероятность не может быть отрицательной. Если мы добавляем новые значения к диапазону, то вероятность в них попасть или положительна, или равна нулю. Благодаря этому, когда мы добавляем эту вероятность к значениям кумулятивной функции, мы можем получить или такое же значение, или большее.
    В примере с кафе вероятность того, что посетитель придёт в некоторый час не может быть отрицательной. Поэтому кумулятивная функция не может убывать: она может либо увеличиться, либо не меняться вообще.
  • Кумулятивная функция начинается из 0. Она показывает вероятность того, что значение случайной величины будет левее некоторого значения. Если мы возьмём минимальное возможное значение случайной величины, то вероятность попасть левее будет равна 0, а значит, кумулятивная функция будет равна 0.
    На примере кафе станет понятно, что вероятность того, что посетитель пришёл раньше 9, равна 0.
  • Кумулятивная функция приходит в 1. Если мы возьмём максимальное возможное значение случайной величины, вероятность попасть левее будет равна 1, а значит, кумулятивная функция равна 1.
    Допустим, мы точно уверены, что за день к нам придёт хотя бы один посетитель. Поэтому вероятность того, что посетитель придёт до 18 часов (в это время кафе закрывается), равна 1.
Среди разных графиков выберите тот, который может быть графиком кумулятивной функции вероятности случайной величины.
 
 
График кумулятивной функции с осью X и осью Y «Вероятность». Функция всё время возрастает. Максимальное значение на оси Y — 1.
 

Математическое ожидани